Question

3．盒中裝有7個(gè)零件，其中5個(gè)是沒(méi)有使用過(guò)的，2個(gè)是使用過(guò)的．
（Ⅰ）從盒中每次隨機(jī)抽取1個(gè)零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用過(guò)零件的概率；
（Ⅱ）從盒中任意抽取3個(gè)零件，使用后放回盒子中，設(shè)X為盒子中使用過(guò)零件的個(gè)數(shù)，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“從盒中隨機(jī)抽取一個(gè)零件，抽到的是使用過(guò)零件”為事件A．可得P（A）=$\frac{{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{7}^{1}}$．利用二項(xiàng)分布列可得：三次抽取中恰有2次抽到使用過(guò)零件的概率P=${∁}_{3}^{2}（\frac{2}{7}）^{2}（\frac{5}{7}）$．
（II）利用二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）記“從盒中隨機(jī)抽取一個(gè)零件，抽到的是使用過(guò)零件”為事件A．
則P（A）=$\frac{{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{7}^{1}}$=$\frac{2}{7}$．
所以三次抽取中恰有2次抽到使用過(guò)零件的概率P=${∁}_{3}^{2}（\frac{2}{7}）^{2}（\frac{5}{7}）$=$\frac{60}{343}$．
（Ⅱ）從盒中任意抽取三個(gè)零件，使用后放回盒子中，設(shè)此時(shí)盒子中使用過(guò)的零件個(gè)數(shù)為X，
由已知X=3，4，5．
P（X=3）=$\frac{{∁}_{5}^{1}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{7}$，P（X=4）=$\frac{{∁}_{5}^{2}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{7}$，P（X=5）=$\frac{{∁}_{5}^{3}}{{∁}_{7}^{3}}$=$\frac{2}{7}$．
隨機(jī)變量X的分布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

∴E（X）=$3×\frac{1}{7}+4×\frac{4}{7}+5×\frac{2}{7}$=$\frac{29}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)分布列與超幾何分布列的概率計(jì)算公式及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．