Question

8．已知3sin²α-2sinα+2sin²β=0，試求sin²α+sin²β的取值范圍．

Answer 1

分析 由3sin²α-2sinα+2sin²β=0，可得sin²β=sinα-$\frac{3}{2}$sin²α，帶入sin²α+sin²β轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)問題求解即可．

解答 解：由3sin²α-2sinα+2sin²β=0，可得sin²β=sinα-$\frac{3}{2}$sin²α，
∵sin²β≥0，即sinα-$\frac{3}{2}$sin²α≥0，
可得：0≤sinα$≤\frac{2}{3}$
那么：sin²α+sin²β=sinα-$\frac{1}{2}$sin²α=$-\frac{1}{2}$（sin²α-2sinα+1）+$\frac{1}{2}$=$-\frac{1}{2}$（sinα-1）²$+\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)sinα=0時，sin²α+sin²β取得最小值為0．
當(dāng)sinα=$\frac{2}{3}$時，sin²α+sin²β取得最大值為$\frac{4}{9}$．
∴sin²α+sin²β的取值范圍是[0，$\frac{4}{9}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的有界限的運(yùn)用和二次函數(shù)的運(yùn)用，求出sinα的范圍是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．