Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，n（a_n+1-n-1）=（n+1）（a_n+n）（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{a_n}{n}$}是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\sqrt{2{a_n}}$-15，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）n（a_n+1-n-1）=（n+1）（a_n+n）（n∈N^*），可得na_n+1-（n+1）a_n=2n（n+1），變形$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2．利用等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可證明．
（2）b_n=$\sqrt{2{a_n}}$-15=2n-15，可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-14n．令b_n≤0，解得n≤7．∴n≤7時(shí)，數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n=-b₁-b₂-…-b_n=-S_n．n≥8時(shí)，數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n=-b₁-b₂-…-b₇+b₈+…+b_n=-2S₇+S_n．

解答 （1）證明：∵n（a_n+1-n-1）=（n+1）（a_n+n）（n∈N^*），
∴na_n+1-（n+1）a_n=2n（n+1），∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=2．
∴數(shù)列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為2．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2+2（n-1）=2n，
∴a_n=2n²．
（2）解：b_n=$\sqrt{2{a_n}}$-15=2n-15，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（-13+2n-15）}{2}$=n²-14n．
令b_n=2n-15≤0，解得n≤7．
∴n≤7時(shí)，數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n=-b₁-b₂-…-b_n=-S_n=-n²+14n．
n≥8時(shí)，數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n=-b₁-b₂-…-b₇+b₈+…+b_n=-2S₇+S_n=-2×（7²-14×7）+n²-14n=n²-14n+98．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{14n-{n}^{2}，n≤7}\\{{n}^{2}-14n=98，n≥8}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式、絕對(duì)值數(shù)列求和問題，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．