Question

6．已知正數(shù)a，b滿足a+b=1．
（1）求ab的取值范圍；
（2）求ab+$\frac{1}{ab}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）令ab=x∈$（0，\frac{1}{4}]$．f（x）=x+$\frac{1}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵正數(shù)a，b滿足a+b=1，∴1$≥2\sqrt{ab}$，解得ab$≤\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴ab∈$（0，\frac{1}{4}]$．
（2）令ab=x∈$（0，\frac{1}{4}]$．f（x）=x+$\frac{1}{x}$，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，因此函數(shù)f（x）在x∈$（0，\frac{1}{4}]$單調(diào)遞減，
∴f（x）≥$f（\frac{1}{4}）$=$\frac{17}{4}$．
∴當(dāng)且僅當(dāng)ab=$\frac{1}{4}$時(shí)，ab+$\frac{1}{ab}$取得最小值$\frac{17}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．