Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+φ}）（{-π＜φ＜0}）$圖象的一條對(duì)稱軸是直線$x=\frac{π}{8}$且f（0）＜0，
（1）求φ；
（2）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）求f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一條對(duì)稱軸是直線$x=\frac{π}{8}$且f（0）＜0，求解φ．
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}sin（{2x+φ}）（{-π＜φ＜0}）$，
（1）∵x=$\frac{π}{8}$是一條對(duì)稱軸，
∴2×$\frac{π}{8}$+φ=$\frac{π}{2}+kπ$，
又∵f（0）＜0，
∴sinφ＜0，
當(dāng)k=-1時(shí)，可得φ=$-\frac{3π}{4}$．
（2）由（1）可知f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{3π}{4}$）
由$\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{3π}{4}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z
得$\frac{5π}{8}+kπ≤$x$≤\frac{9π}{8}+kπ$
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{5π}{8}+kπ$，$\frac{9π}{8}+kπ$]k∈Z
（3））∵x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$上時(shí)，可得2x-$\frac{3π}{4}$∈[$-\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]
當(dāng)2x-$\frac{3π}{4}$=$-\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為$-\sqrt{2}$．
當(dāng)2x-$\frac{3π}{4}$=$\frac{π}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為1．
∴f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的值域?yàn)閇$-\sqrt{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用條件確定f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．