Question

9．在區(qū)間D上，如果函數(shù)f（x）為減函數(shù)，而xf（x）為增函數(shù)，則稱f（x）為D上的弱減函數(shù)．若f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$
（1）判斷f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是否為弱減函數(shù)；
（2）當x∈[1，3]時，不等式$\frac{a}{x}≤\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}≤\frac{a+4}{2x}$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+k|x|-1在[0，3]上有兩個不同的零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用初等函數(shù)的性質(zhì)、弱減函數(shù)的定義，判斷$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$是[0，+∞）上的弱減函數(shù)．
（2）根據(jù)題意可得$\left\{\begin{array}{l}a≤{（{\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}}）_{min}}\\ \frac{a+4}{2}≥{（{\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}}）_{max}}\end{array}\right.$，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，可得a的范圍．
（3）根據(jù)題意，當x∈（0，3]時，方程$1-\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}=k|x|$只有一解，分離參數(shù)k，換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得k的范圍．

解答 解：（1）由初等函數(shù)性質(zhì)知，$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
而$xf（x）=\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}=\frac{（x+1）-1}{{\sqrt{1+x}}}=\sqrt{1+x}-\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以$f（x）=\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}$是[0，+∞）上的弱減函數(shù)．
（2）不等式化為$a≤\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}≤\frac{a+4}{2}$在x∈[1，3]上恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}a≤{（{\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}}）_{min}}\\ \frac{a+4}{2}≥{（{\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}}）_{max}}\end{array}\right.$，
而$y=\frac{x}{{\sqrt{1+x}}}$在[1，3]單調(diào)遞增，∴$\frac{x}{\sqrt{1+x}}$的最小值為$\frac{1}{2}$，$\frac{x}{\sqrt{1+x}}$的最大值為 $\frac{3}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{\frac{a+4}{2}≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，∴a∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
（3）由題意知方程$1-\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}=k|x|$在[0，3]上有兩個不同根，
①當x=0時，上式恒成立；
②當x∈（0，3]時，則由題意可得方程$1-\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}=k|x|$只有一解，
根據(jù) $k=\frac{1}{x}（1-\frac{1}{{\sqrt{1+x}}}）=\frac{1}{x}•\frac{{\sqrt{1+x}-1}}{{\sqrt{1+x}}}=\frac{1}{x}•\frac{x}{{\sqrt{1+x}•（\sqrt{1+x}+1）}}=\frac{1}{{{{（\sqrt{1+x}）}^2}+\sqrt{1+x}}}$，
令$t=\sqrt{1+x}$，則t∈（1，2]，
方程化為$k=\frac{1}{{{t^2}+t}}$在t∈（1，2]上只有一解，所以$k∈[\frac{1}{6}，\frac{1}{2}）$．

點評 本題主要考查新定義，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，屬于中檔題．