Question

15．已知F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂作x軸的垂線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，G是△ABF₁的重心，且$\overrightarrow{GA}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=0，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），將x=c代入雙曲線的方程，可得A，B的坐標(biāo)，再由三角形的重心坐標(biāo)公式，求得G的坐標(biāo)，得到$\overrightarrow{GA}$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$的坐標(biāo)，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得a，b，c的方程，由離心率公式，解方程可得．

解答 解：設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
令x=c代入雙曲線的方程，可得y²=b²•（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，
解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
可設(shè)A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
由重心坐標(biāo)公式可得x_G=$\frac{-c+c+c}{3}$=$\frac{1}{3}$c；
y_G=0，
即G（$\frac{1}{3}$c，0），$\overrightarrow{GA}$=（$\frac{2}{3}$c，$\frac{^{2}}{a}$），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（2c，-$\frac{^{2}}{a}$），
由$\overrightarrow{GA}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=$\frac{2}{3}$c•2c+（-$\frac{^{2}}{a}$）•（$\frac{^{2}}{a}$）=0，
即4a²c²=3b⁴，
即為2ac=$\sqrt{3}$b²=$\sqrt{3}$（c²-a²），
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\sqrt{3}$e²-2e-$\sqrt{3}$=0，
解得e=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用重心坐標(biāo)公式和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．