Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n 且S_n=2n²，數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n且T_n+

1

2

bn=1．n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（3）記c_n=

1

4

an•bn，求數(shù)列{c_n}的前n項和M_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求a_n；
（2）由T_n=1-

1

2

bn，①得n≥2時，Tn-1=1-

1

2

bn-1②，兩式相減可得數(shù)列遞推式，根據(jù)遞推式及等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；
（3）易求c_n，利用錯位相減法可求M_n．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-2；
又n=1時，a₁=S₁=2，
∴a_n=4n-2，n∈N^*；
（2）由于T_n=1-

1

2

bn，①
令n=1得b1=1-

1

2

b1，解得b1=

2

3

，當(dāng)n≥2時，Tn-1=1-

1

2

bn-1②，
①-②得bn=

1

2

bn-1-

1

2

bn，∴bn=

1

3

bn-1．
又b1=

2

3

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

3

，
∴數(shù)列{b_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列；
（3）由（2）可得bn=

2

3n

，
c_n=

1

4

an•bn=

1

4

(4n-2)•

2

3n

=

2n-1

3n

，
M_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

①，

1

3

Mn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-1

3n+1

②，
①-②得

2

3

Mn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=2×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

1

3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴Mn=1-

n+1

3n

．

點評：該題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．