Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是對角線AB₁、BC₁上的點，且

B1M

MA

=

C1N

NB

，求證：MN∥平面A₁B₁C₁D₁（寫出三種作法）

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：方法一、在平面AA₁B₁B內，作MK∥AB，交BB₁于K點，連接KN，利用“面面平行”⇒“線面平行”即可．
方法二、連接BM，延長交A₁B₁于L，連接C₁L，運用平行線分線段成比例的逆定理，證得MN∥C₁L，由線面平行的判定定理，即可得證；
方法三、分別在平面AB₁，和平面BC₁中，過M作MH∥BB₁，過N作NG∥BB₁，運用平行線分線段成比例，證得四邊形MNGH為平行四邊形，再由線面平行的判定定理，即可得證．

解答： 證法一：在平面AA₁B₁B內，作MK∥AB，交BB₁于K點，連接KN，
則易知

B1M

MA

=

B1K

KB

；
∵

B1M

MA

=

C1N

NB

，
∴

B1K

KB

=

C1N

NB

，
∴KN∥B₁C₁，又A₁B₁∥AB，∴MK∥A₁B₁．
∴平面MKN∥平面A₁B₁C₁D₁，而MN?平面MKN，
∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁．
證法二：連接BM，延長交A₁B₁于L，連接C₁L，
則

B1M

MA

=

ML

MB

，又

B1M

MA

=

C1N

NB

，
則

ML

MB

=

C1N

NB

，即有MN∥C₁L，
MN?平面A₁B₁C₁D₁．C₁L?平面A₁B₁C₁D₁．
則MN∥平面A₁B₁C₁D₁．
證法三、分別在平面AB₁，和平面BC₁中，
過M作MH∥BB₁，過N作NG∥BB₁，
則MH∥NG，由于

MH

AA1

=

B1M

B1A

=

C1N

C1B

=

NG

B1B

，
即有MH=NG，則四邊形MNGH為平行四邊形，
則有MN∥GH，MN?平面A₁B₁C₁D₁．GH?平面A₁B₁C₁D₁．
則有MN∥平面A₁B₁C₁D₁．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，考查作輔助線進行推理證明的能力，屬于中檔題．