Question

4．從旅游景點(diǎn)A到B有一條100km的水路，某輪船公司開(kāi)設(shè)一個(gè)游輪觀光項(xiàng)目．已知游輪每小時(shí)使用燃料費(fèi)用與速度的立方成正比例，其他費(fèi)用為每小時(shí)3240元，游輪最大時(shí)速為50km/h，當(dāng)游輪的速度為10km/h時(shí)，燃料費(fèi)用為每小時(shí)60元，設(shè)游輪的航速為vkm/h，游輪從A到B一個(gè)單程航行的總費(fèi)用為S元．
（1）將游輪從A到B一個(gè)單程航行的總費(fèi)用S表示為游輪的航速v的函數(shù)S=f（v）；
（2）該游輪從A到B一個(gè)單程航行的總費(fèi)用最少時(shí)，游輪的航速為多少，并求出最小總費(fèi)用．

Answer 1

分析 （1）利用游輪每小時(shí)使用燃料費(fèi)用與速度的立方成正比例，其他費(fèi)用為每小時(shí)3240元，可將游輪從A到B一個(gè)單程航行的總費(fèi)用S表示為游輪的航速v的函數(shù)S=f（v）；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值．

解答 解：（1）設(shè)游輪以每小時(shí)vkm/h的速度航行，游輪單程航行的總費(fèi)用為f（v）元，
∵游輪的燃料費(fèi)用每小時(shí)k•v³元，依題意k•10³=60，則k=0.06，
∴S=f（v）=$0.06{v}^{3}×\frac{100}{v}$+3240×$\frac{100}{v}$=6v²+$\frac{324000}{v}$（0＜v≤50）；
（2）f′（v）=$\frac{12（{v}^{3}-27000）}{{v}^{2}}$，
f′（v）=0得，v=30，
當(dāng)0＜v＜30時(shí)，f′（v）＜0，此時(shí)f（v）單調(diào)遞減；
當(dāng)30＜v＜50時(shí)，f′（v）＞0，此時(shí)f（v）單調(diào)遞增；
故當(dāng)v=30時(shí)，f（v）有極小值，也是最小值，f（30）=16200，
所以，輪船公司要獲得最大利潤(rùn)，游輪的航速應(yīng)為30km/h．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道實(shí)際應(yīng)用題，考查了正比例函數(shù)，建模思想，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解決實(shí)際問(wèn)題的能力．