Question

如圖，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連結GH．
（Ⅰ）求證：AB∥GH；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得EF∥AB，DC∥AB，從而EF∥DC．進而EF∥平面PCD． 由此能證明AB∥GH．
（Ⅱ）以B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．利用向量法能求出平面PAB與平面PCD所成角的正弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：∵D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，…（1分）
∴EF∥AB，DC∥AB，…（2分）
∴EF∥DC．
又EF?平面PCD，DC?平面PCD，
∴EF∥平面PCD． …（3分）
又EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，…（4分）
∴EF∥GH．
又EF∥AB，
∴AB∥GH．…（6分）
（Ⅱ）解：在△ABQ中，∵AQ=2BD，AD=DQ，∴∠ABQ=90°，即AB⊥BQ．
又PB⊥平面ABQ，∴BA，BQ，BP兩兩垂直．
以B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系．設BA=BQ=BP=2，
則B（0，0，0），Q（0，2，0），D（1，1，0），
C（0，1，0），P（0，0，2），
∴

DP

=（-1，-1，2），

CP

=（0，-1，2）．…（8分）
設平面PCD的一個法向量為

n

=（x，y，z），
由

n

•

DP

=0，

n

•

CP

=0，得

-x-y+2z=0 -y+2z=0

，取z=1，得

n

=（0，2，1）．…（10分）
又

BQ

=（0，2，0）為平面PAB的一個法向量，
∴cos＜n，

BQ

＞=

2×2

5 ×2

=

2 5

5

．
設平面PAB與平面PCD所成角為θ，
則sinθ=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

．
故平面PAB與平面PCD所成角的正弦值為

5

5

．…（12分）

點評：本題考查兩條直線平行的證明，考查平面與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．