Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2sinωx，其中常數(shù)ω＞0．
（Ⅰ）令ω=1，求函數(shù) 在 上的最大值；
（Ⅱ）若函數(shù) 的周期為π，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并直接寫出g（x）在 的零點個數(shù)．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sinωx，ω=1時，則f（x）=2sinx，那么：函數(shù) =2sinx+4cos2x=4﹣4sin2x+2sinx，
令t=sinx，
∵x在 上，
∴﹣1≤t≤0
則函數(shù)F（x）轉(zhuǎn)化為h（t）=﹣4t2+2t+4，
對稱軸t= ，
∵﹣1≤t≤0，
∴h（t）的最大值為h（0）max=4，即ω=1，求函數(shù) 在 上的最大值為4．
（Ⅱ） =2﹣2sinωx+ cosωx，
∵周期為π，即T= ，
解得：ω=2
∴函數(shù)g（x）=2﹣2sin2x+ cos2x=2﹣4sin（2x﹣ ）=4sin（2x+ ）+2．
∵2x+ ）∈[2k ， ]是單調(diào)遞增區(qū)間，即2k ≤2x+ ≤
解得： ≤x≤
函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間位[ ， ]，k∈Z．
令g（x）=0，即4sin（2x+ ）+2=0，
解得：2x+ =2kπ﹣ 或者2x+ =2kπ﹣ ，k∈Z．
∵x在 上．
當k取2，3…6時，2x+ =2kπ﹣ 滿足要求．
當k取2，3…6時，2x+ =2kπ﹣ 滿足要求．
故得g（x）在 上有10零點個數(shù)
【解析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=2sinωx，ω=1，化簡F（x）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解．（Ⅱ）利用輔助角公式化簡成為y=Asin（ωx+φ）的形式，函數(shù) 的周期為π，再利用周期公式求ω，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）x∈ 時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得零點個數(shù)．