Question

17．命題p：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅；命題q：函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)．命題r：a滿足$\frac{2a-1}{a-2}≤1$．
（1）若p∨q是真命題且p∧q是假題．求實數(shù)a的取值范圍．
（2）試判斷命題￢p是命題r成立的一個什么條件．

Answer 1

分析 （1）利用判別式△＜0求出p為真時a的取值范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出q為真時a的取值范圍；由p∨q是真命題且p∧q是假命題知p、q一真一假，由此求出a的范圍；
（2）解不等式$\frac{2a-1}{a-2}≤1$得出命題r為真時a的取值范圍，根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷命題?p是命題r成立的充分不必要條件．

解答 解：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅，
∴△=（a-1）²-4a²＜0，
即3a²+2a-1＞0，
解得a＜-1或a＞$\frac{1}{3}$，
∴p為真時a＜-1或a＞$\frac{1}{3}$；
又函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)，
∴2a²-a＞1，
即2a²-a-1＞0，
解得a＜-$\frac{1}{2}$或a＞1，
∴q為真時a＜-$\frac{1}{2}$或a＞1；
（1）∵p∨q是真命題且p∧q是假命題，∴p、q一真一假，
∴當P假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{a＜-\frac{1}{2}或a＞1}\end{array}\right.$，即-1≤a＜-$\frac{1}{2}$；
當p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1或a＞\frac{1}{3}}\\{-\frac{1}{2}≤a≤1}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{3}$＜a≤1；
∴p∨q是真命題且p∧q是假命題時，a的范圍是-1≤a＜-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$＜a≤1；
（2）∵$\frac{2a-1}{a-2}≤1$，
∴$\frac{2a-1}{a-2}$-1≤0，
即$\frac{a+1}{a-2}≤0$，
解得-1≤a＜2，
∴a∈[-1，2），
∵?p為真時-1≤a≤$\frac{1}{3}$，
由[-1，$\frac{1}{3}$）是[-1，2）的真子集，
∴?p⇒r，且r≠＞?p，
∴命題?p是命題r成立的一個充分不必要條件．

點評 本題考查了復(fù)合命題的真假性問題，也考查了不等式與函數(shù)的應(yīng)用問題，是綜合題．