Question

已知函數(shù)f（x）=x⁴+x³-ax²+a²只有唯一的極值點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求f′（x）=4x³+3x²-2ax=x（4x²+3x-2a），函數(shù)f（x）=x⁴+x³-ax²+a²只有唯一的極值點(diǎn)即f′（x）只有一個(gè)零點(diǎn)附近有正有負(fù)，從而求解．

解答： 解：f′（x）=4x³+3x²-2ax=x（4x²+3x-2a），
若a=0，則f′（x）=x（4x²+3x）=x²（4x+3），
只有x=-

3

4

一個(gè)極值點(diǎn)，成立；
若a≠0，則若使函數(shù)f（x）=x⁴+x³-ax²+a²只有唯一的極值點(diǎn)，
則4x²+3x-2a=0無(wú)解或有兩個(gè)相同的根，
則△=3²+4×4×2a≤0，
則a≤-

9

32

；
綜上所述，
a=0或a≤-

9

32

，
故答案為：a=0或a≤-

9

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的極值的應(yīng)用，屬于中檔題．