Question

19．已知拋物線y²=ax的準(zhǔn)線是l：x=-$\frac{1}{2}$．
（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若經(jīng)過焦點(diǎn)切斜角為45°的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)準(zhǔn)線方程求出a，得出標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的性質(zhì)得出|AB|．

解答 解：（1）由題意可知-$\frac{a}{4}$=-$\frac{1}{2}$，∴a=2，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2x，焦點(diǎn)F（$\frac{1}{2}$，0）．
（2）直線AB的方程為y=x-$\frac{1}{2}$，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，消去y得x²-3x+$\frac{1}{4}$=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=3，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+$\frac{1}{2}$+x₂+$\frac{1}{2}$=x₁+x₂+1=4．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，焦點(diǎn)弦公式，屬于基礎(chǔ)題．