Question

13．已知函數(shù)f_k（x）=a^x+ka^-x，（k∈Z，a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）若f₁（1）=3，求f₁（$\frac{1}{2}$）的值；
（Ⅱ）若f_k（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且a＞1，是否存在實數(shù)λ，使得f_k（cos2x）+f_k（2λsinx-5）＜0對任意x∈[0，$\frac{2π}{3}$]恒成立，若存在，請求出實數(shù)k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f₁（1）=3，則a+a^-1=3，結(jié)合a+a^-1=（${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$）²-2可得答案；
（Ⅱ）若f_k（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且a＞1，則k=-1，f_k（x）=a^x-a^-x在R上為增函數(shù)，故問題可轉(zhuǎn)化為：λ＜$\frac{5-cos2x}{2sinx}$=$\frac{2{sin}^{2}x+4}{2sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$對任意x∈[0，$\frac{2π}{3}$]恒成立，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）若f₁（1）=3，
則a+a^-1=（${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$）²-2=3，
∴（${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$）²=5，
∴${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，或${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{5}$（舍去），
則f₁（$\frac{1}{2}$）=${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{5}$，
（Ⅱ）若f_k（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
則f_k（0）=a+ka=0，
解得：k=-1，
∵a＞1，
∴f_k（x）=a^x-a^-x在R上為增函數(shù)，
則f_k（cos2x）+f_k（2λsinx-5）＜0可化為：f_k（cos2x）＜-f_k（2λsinx-5）=f_k（5-2λsinx），
即cos2x＜5-2λsinx對任意x∈[0，$\frac{2π}{3}$]恒成立，
即λ＜$\frac{5-cos2x}{2sinx}$=$\frac{2{sin}^{2}x+4}{2sinx}$=sinx+$\frac{2}{sinx}$對任意x∈[0，$\frac{2π}{3}$]恒成立，
令t=sinx，（t∈[0，1]），
則y=t+$\frac{2}{t}$為減函數(shù)，當(dāng)t=1時，y取最小值3，
故λ＜3．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)求值，難度中檔．