Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2{a_{n-1}}-2，n=2k+1\\{a_{n-1}}+1，n=2k\end{array}\right.$（k∈N^*），若a₁=1，則S₂₀=2056．

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其偶數(shù)項比其前一項多1，運用分組求和和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2{a_{n-1}}-2，n=2k+1\\{a_{n-1}}+1，n=2k\end{array}\right.$（k∈N^*），a₁=1，
可得a₂=a₁+1=2，a₃=2a₂-2=2，a₄=a₃+1=3，a₅=2a₄-2=4，…，
可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
其偶數(shù)項比其前一項多1，
則S₂₀=（1+2+…+2⁹）+（2+3+…+2⁹+1）=$\frac{1-{2}^{10}}{1-2}$+10+$\frac{1-{2}^{10}}{1-2}$
=2¹¹+8=2056．
故答案為：2056．

點評 本題考查數(shù)列的求和，注意運用分段數(shù)列的特點，得到數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成首項為1，公比為2的等比數(shù)列，其偶數(shù)項比其前一項多1，是解題的關鍵，屬于中檔題．