Question

3．某校高二年級(jí)學(xué)生會(huì)有理科生4名，其中3名男同學(xué)；文科生3名，其中有1名男同學(xué)，從這7名成員中隨機(jī)抽4人參加高中示范校驗(yàn)收活動(dòng)問(wèn)卷調(diào)查．
（Ⅰ）設(shè)A為事件“選出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件A的概率；
（Ⅱ）設(shè)X為選出的4人中男生人數(shù)與女生人數(shù)差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出基本事件總數(shù)n=${C}_{7}^{4}$，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出事件A的概率．
（Ⅱ）由題意知隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，2，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）高二年級(jí)學(xué)生會(huì)有理科生4名，其中3名男同學(xué)；文科生3名，其中有1名男同學(xué)，
從這7名成員中隨機(jī)抽4人參加高中示范校驗(yàn)收活動(dòng)問(wèn)卷調(diào)查，
基本事件總數(shù)n=${C}_{7}^{4}$，
A為事件“選出的4人中既有文科生又有理科生”，
則事件A的概率p=1-$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{34}{35}$，
（Ⅱ）由題意知隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，2，4，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}{C}_{3}^{0}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{16}{35}$，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{18}{35}$．
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	2	4
P	$\frac{18}{35}$	$\frac{16}{35}$	$\frac{1}{35}$

E（X）=$0×\frac{18}{35}+2×\frac{16}{35}+4×\frac{1}{35}$=$\frac{36}{35}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．