Question

16．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C和C₁D與底面所成的角分別為60°和45°，則異面直線B₁C和C₁D所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)、線面角的定義、異面直線所成的角的定義即可得出．

解答 解：如圖所示：
∵B₁B⊥平面ABCD，∴∠BCB₁是B₁C與底面所成角，
∴∠BCB₁=60°．
∵C₁C⊥底面ABCD，∴∠CDC₁是C₁D與底面所成的角，
∴∠CDC₁=45°．
連接A₁D，A₁C₁，則A₁D∥B₁C．∴∠A₁DC₁或其補(bǔ)角為異面直線B₁C與C₁D所成的角．
不妨設(shè)BC=1，則CB₁=DA₁=2，$B{B}_{1}=C{C}_{1}=\sqrt{3}$=CD，
∴${C}_{1}D=\sqrt{6}$，A₁C₁=2．
在等腰△A₁C₁D中，cos∠A₁DC₁=$\frac{\frac{1}{2}{C}_{1}D}{{A}_{1}D}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握長(zhǎng)方體的性質(zhì)、線面角與異面直線所成的角的定義是解題的關(guān)鍵．