【題目】已知函數(shù),

(Ⅰ)當x0時,fx)≤hx)恒成立,求a的取值范圍;

(Ⅱ)當x0時,研究函數(shù)Fx)=hx)﹣gx)的零點個數(shù);

(Ⅲ)求證:(參考數(shù)據(jù):ln1.1≈0.0953).

【答案】(1) a的取值范圍為(﹣∞,1];(2)見解析.

【解析】

構(gòu)造輔助函數(shù),,根據(jù)的取值范圍,求導,確定函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值,即可得到的取值范圍

上變化時,討論函數(shù)的圖象公共點的個數(shù),即討論的零點的個數(shù),分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,即可得出結(jié)論

可知當時,,對恒成立,令,,則,即可得證

(Ⅰ)令Hx)=hx)﹣fx)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0)

①若a≤1,則,H'(x)≥0,Hx)在[0,+∞)遞增,

Hx)≥H(0)=0,

fx)≤hx)在[0,+∞)恒成立,滿足,a≤1,

a的取值范圍(﹣∞,1];

②若a>1,在[0,+∞)遞增,

H'(x)≥H'(0)=1﹣a且1﹣a<0,

x→+∞時,H'(x)→+∞,

x0∈(0,+∞)使H'(x0)=0進而Hx)在[0,x0)遞減,在(x0,+∞)遞增,

所以當x∈(0,x0)時Hx)<H(0)=0,

即當x∈(0,x0)時,fx)>hx),不滿足題意,舍去;

綜合①,②知a的取值范圍為(﹣∞,1];

(Ⅱ)依題意得,則F'(x)=exx2+a

F'(x)=ex﹣2x>0在(﹣∞,0)上恒成立,故F'(x)=exx2+a在(﹣∞,0)遞增,

所以F'(x)<F'(0)=1+a,且x→﹣∞時,F'(x)→﹣∞;

①若1+a≤0,即a≤﹣1,則F'(x)<F'(0)=1+a≤0,故Fx)在(﹣∞,0)遞減,

Fx)>F(0)=0,Fx)在(﹣∞,0)無零點;

②若1+a>0,即a>﹣1,則使,

進而Fx)在遞減,在遞增,

x→﹣∞時,,

Fx)在上有一個零點,在無零點,

Fx)在(﹣∞,0)有一個零點.

綜合①②,當a≤﹣1時無零點;當a>1時有一個公共點.

(Ⅲ)證明:由(Ⅰ)知,當a=1時,ex>1+ln(x+1)對x>0恒成立,

,則;

由(Ⅱ)知,當a=﹣1時,x<0恒成立,

,則,

故有

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