Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，已知不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-3）∪（2，+∞），
（1）求a和b的值；
（2）已知命題p：?x∈R，ax²+bx+c≤0，命題q：?x∈R，x²+2$\sqrt{3}$x-c=0．如果p∨（￢q）是真命題，p∧（￢q）是假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題知，-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩根且a＜0，由韋達定理可得：a和b的值；
（2）p∨（￢q）是真命題，p∧（￢q）是假命題，則p真q真或p假q假，進而可得c的取值范圍．

解答 解：（1）由題知，-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的兩根且a＜0   …（2分）
故由韋達定理易得a=-3，b=5                              …（4分）
（2）命題p真時，△₁≤0，25+12c≤0，c≤-$\frac{25}{12}$
命題q真時，△₂≥0，12+4c≥0，∴c≥-3，…（6分）
∵p∨（?q）是真命題，p∧（?q）是假命題，
∴則p真q真或p假q假                           …（8分）
故c的取值范圍是[-3，-$\frac{25}{12}$]…（10分）

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，二次方程與二次不等式的關(guān)系，難度中檔．