分析 (1)推導(dǎo)出AN⊥PB,AD⊥PB,由此能證明PB⊥平面ADMN.
(2)連結(jié)DN,則∠BDN是BD與平面ADMN所成的角,由此能求出BD與平面ADMN所成的角.
(3)作AF⊥CD于點(diǎn)F,連結(jié)EF,則∠AFE就是二面角A-CD-E的平面角,由此能求出當(dāng)$AE=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$時(shí),二面角A-CD-E的平面角為45°.
解答 證明:(1)∵M(jìn)、N分別為PC、PB的中點(diǎn),AD∥BC,
∴AD∥MN,即A,D,M,N四點(diǎn)共面
∵N是PB的中點(diǎn),PA=AB,∴AN⊥PB.
∵AD⊥面PAB,∴AD⊥PB.
又∵AD∩AN=N
∴PB⊥平面ADMN.(4分)
解:(2)連結(jié)DN,∵PB⊥平面ADMN,
∴∠BDN是BD與平面ADMN所成的角.
在Rt△BDN中,$sin∠BDN=\frac{BN}{BD}=\frac{1}{2}$,
∴BD與平面ADMN所成的角是$\frac{π}{6}$.(8分)
(3)作AF⊥CD于點(diǎn)F,連結(jié)EF,
∵PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA
∴CD⊥平面PAF∴CD⊥EF
∴∠AFE就是二面角A-CD-E的平面角
若∠AFE=45°,則AE=AF
由 AF•CD=AB•AD,可解得$AF=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
∴當(dāng)$AE=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$時(shí),二面角A-CD-E的平面角為45°.(12分)
點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明,考查線面角的求法,考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{5}{4}$ | C. | 1 | D. | 2$\sqrt{2}$ |
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