Question

（Ⅰ）給定數(shù)列{c_n}，如果存在實常數(shù)p，q，使得c_n+1=pc_n+q對于任意n∈N^*都成立，我們稱數(shù)列{c_n}是“R族數(shù)列”．證明：若數(shù)列{b_n}的前n項和為是Sn=n2+n，數(shù)列{b_n}是“R族數(shù)列”，并指出它對應的實常數(shù)p，q．
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，an+an+1=2n(n∈N*)，求數(shù)列{a_n}前2013項的和．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由數(shù)列{b_n}的前n項和為是Sn=n2+n，求出b_n=2n，利用“R族數(shù)列”的要領進行判斷，能得到證明并求出對應的實常數(shù)p，q．
（Ⅱ）由a₁=2，an+an+1=2n(n∈N*)，利用累加求和法能求出數(shù)列{a_n}前2013項的和．

解答： （Ⅰ）證明：∵數(shù)列{b_n}的前n項和為是Sn=n2+n，
∴當n=1時，b₁=S₁=1+1=2，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
∵b₁=2也適合上式，
∴b_n=2n，（n∈N^*），
又∵bn+1=2(n+1)=bn+2，(n∈N*)，
∴數(shù)列{b_n}是“R族數(shù)列”，對應的實常數(shù)分別為p=1，q=2．
（Ⅱ）∵a₁=2，an+an+1=2n(n∈N*)，
∴a2+a3=22，a4+a5=24，…，
a2010+a2011=22010，a2012+a2013=22012．
∴S2013=a1+a2+a3+…+a2012+a2013=2+22+24+…+22012，
∴S2013=2+

4(1-41006)

1-4

=

22014+2

3

故數(shù)列{a_n}前2013項的和S2013=

22014+2

3

．

點評：本題考查“R族數(shù)列”的證明，考查數(shù)列的前2013項和的求法，是中檔題，解題時要注意累加求和法的合理運用．