Question

20．如圖，已知向量$\overrightarrow{AB}=（{6，1}），\overrightarrow{BC}=（{x，y}），\overrightarrow{CD}=（{-2，-3}）$．
（1）若$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，求x與y之間的關(guān)系；
（2）在（1）的條件下，若有$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$，求x，y的值以及四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{DA}$，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示可得（x+4）y-（y-2）x=0，可求x，y的關(guān)系，
（2）由有$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$，結(jié)合（1）的關(guān)系式可求x，y的值，代入四邊形的面積公式可求

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（x+4，y-2）$，
又$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$，
∴x（y-2）-y（x+4）=0⇒x+2y=0①
（2）∵$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=（x+6，y+1）$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=（x-2，y-3）$
又$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BD}$，∴（x+6）（x-2）+（y+1）（y-3）=0⇒x²+y²+4x-2y-15=0②；
由①，②得$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=3}\end{array}\right.$時(shí)，$\overrightarrow{AC}=（0，4）⇒|\overrightarrow{AC}|=4$，$\overrightarrow{BD}=（-8，0）⇒|\overrightarrow{BD}|=8$，則${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|=16$；
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$時(shí)，$\overrightarrow{AC}=（8，0）⇒|\overrightarrow{AC}|=8$，$\overrightarrow{BD}=（0，-4）⇒|\overrightarrow{BD}|=4$，
則${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|=16$；
綜上知${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|=16$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．