Question

6．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右兩個焦點分別為F₁、F₂，以線段F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為M，若|MF₁|-|MF₂|=2b，該雙曲線的離心率為e，則e²=（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• C． $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Answer 1

分析 聯(lián)立圓與漸近線方程，求得M的坐標(biāo)，利用兩點之間的距離公式，化簡即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：以線段F₁F₂為直徑的圓的方程x²+y²=c²，
雙曲線經(jīng)過第一象限的漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=b}\end{array}\right.$，
則M（a，b），
由|MF₁|-|MF₂|=2b，即$\sqrt{（a+c）^{2}+^{2}}$-$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$=2b，
由b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$，
化簡整理得：e⁴-e²-1=0，
由求根公式可知e²=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，由e＞1，
則e²=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．