Question

18．已知圓C：（x+2）²+y²=5，直線l：mx-y+1+2m=0，m∈R．
（1）求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點A、B；
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；
（3）是否存在實數(shù)m，使得圓C上有四點到直線l的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$？若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）圓心C到直線l：mx-y+1+2m=0的距離$|{\frac{-2m+1+2m}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}|=|{\frac{1}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}|＜\sqrt{5}$，可得：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同的交點A、B；
（2）設(shè)中點為M（x，y），利用k_AB•k_MC=-1，即可求弦AB的中點M的軌跡方程，并說明其軌跡是什么曲線；
（3）利用圓心C（-2，0）到直線l的距離為$|{\frac{-2m+1+2m}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}|=|{\frac{1}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}|＜|{\sqrt{5}-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}}|$，求出m的范圍．

解答 解：（1）圓C：（x+2）²+y²=5，的圓心為C（-2，0），半徑為$\sqrt{5}$，所以圓心C到直線l：mx-y+1+2m=0的距離$|{\frac{-2m+1+2m}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}|=|{\frac{1}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}|＜\sqrt{5}$．
所以直線l與圓C相交，即直線l與圓C總有兩個不同的交點；…（4分）
（2）設(shè)中點為M（x，y），因為直線l：mx-y+1+2m=0恒過定點（-2，1），
當(dāng)直線l的斜率存在時，${k_{AB}}=\frac{y-1}{x+2}$，又${k_{MC}}=\frac{y}{x+2}$，k_AB•k_MC=-1，
所以$\frac{y-1}{x+2}•\frac{y}{x+2}=-1$，化簡得${（x+2）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{4}（x≠-2）$．…（6分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時，中點M（-2，0）也滿足上述方程．…（7分）
所以M的軌跡方程是${（x+2）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{1}{4}$，它是一個以$（-2，\frac{1}{2}）$為圓心，以$\frac{1}{2}$為半徑的圓．…（8分）
（3）假設(shè)存在直線l，使得圓上有四點到直線l的距離為$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，由于圓心C（-2，0），半徑為$\sqrt{5}$，則圓心C（-2，0）到直線l的距離為$|{\frac{-2m+1+2m}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}|=|{\frac{1}{{\sqrt{1+{m^2}}}}}|＜|{\sqrt{5}-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}}|$
化簡得m²＞4，解得m＞2或m＜-2．…（12分）

點評 本題考查點到直線的距離公式，直線的一般式方程，軌跡方程，直線和圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查分析問題解決問題的能力，計算能力，是中檔題．