Question

【題目】函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．

（1）若，求在處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（2）在單增，在單減．（3）

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)中求得的值為切線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程可寫(xiě)出切線方程；

（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由的范圍判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而可求得其單調(diào)區(qū)間；

（3）有兩個(gè)不等的實(shí)根，等價(jià)于有兩個(gè)不等實(shí)根，

等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，然后對(duì)求導(dǎo)判斷其單調(diào)區(qū)間，可求出的取值范圍，從而可得的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，，

切線斜率，，切點(diǎn)，

∴切線方程．

（2），定義域，

，

當(dāng)，恒成立，即在單調(diào)遞增，

當(dāng)，令，解得，即在單調(diào)遞增，

令，解得，即在單調(diào)遞減．

（3）有兩個(gè)不等的實(shí)根，即有兩個(gè)不等實(shí)根，

等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

即在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，

而易知，，

，，，

∴，即．（其他合理方法均可）