Question

三棱柱ABC－A₁B₁C₁，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA₁⊥AC₁.

(1)求證：AC₁⊥平面A₁BC；

(2)求二面角A－A₁B－C的余弦值．

Answer 1

解：(1)證明：如圖，設A1D＝t(>0)，取AB的中點E，則DE∥BC，

因為BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，

所以DE，DC，DA1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，          

則A(0，－1,0)，C(0，1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)，

＝(0,3，t)，＝(－2，－1，t)，       

＝(2,0,0)，   由·＝0，知AC1⊥CB，

又BA1⊥AC1，BA1∩CB＝B，從而AC1⊥平面A1BC；

                                       .

(2)由·＝－3＋t2＝0，得t＝            

設平面A1AB的法向量為n＝(x，y，z)，

＝(0,1，)，   ＝(2,2,0)，

所以，設z＝1，則n＝(，－，1)． .

再設平面A1BC的法向量為m＝(u，v，w)，＝(0，－1，)，    ＝(2,0,0)，

所以，   設w＝1，則m＝(0，，1)，

故cos〈m，n〉＝＝－，                      

因為二面角A－A1B－C為銳角，所以可知二面角A－A1B－C的余弦值為.