【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形, , , 平面, , .
(1)求證: 平面;
(2)求直線與平面所成角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)直線與平面所成角的余弦值為.
【解析】試題分析:(1)要證線面平行,先找線線平行,先證平面AED⊥平面ABCD,做過E作EG⊥AD于G,則EG⊥平面ABCD,∴FC∥EG,進(jìn)而得到線面平行;(2)建系,求面的法向量和線的方向向量,根據(jù)向量夾角得到線面角,即可。
解析:
(Ⅰ)證明:∵四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,
∴BC=DC,∠ADC=∠BCD=120°,∴∠CDB=30°,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AD.
又AE⊥BD, =A,∴BD⊥平面AED,
又BD平面ABCD,∴平面AED⊥平面ABCD.
如圖4,過E作EG⊥AD于G,則EG⊥平面ABCD,
又FC⊥平面ABCD,∴FC∥EG.
又EG平面AED,FC平面AED,
∴FC∥平面AED.
(Ⅱ)解:如圖5,連接AC,由(Ⅰ)知AC⊥BC,
∵FC⊥平面ABCD,
∴CA,CB,CF兩兩垂直.
以C為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.
設(shè)BC,則AC,AB,
, , ,
,∴,
, .
設(shè)平面BDF的法向量為,
則 即
令,則, ,則.
設(shè)直線AF與平面BDF所成角為,則,
故直線AF與平面BDF所成角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體中,四邊形為矩形,四邊形為梯形, ,平面與平面垂直,且.
(1)求證: 平面;
(2)若,且平面與平面所成銳二面角的余弦值為,求的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】無窮數(shù)列滿足: 為正整數(shù),且對任意正整數(shù), 為前項(xiàng), , , 中等于的項(xiàng)的個數(shù).
(Ⅰ)若,請寫出數(shù)列的前7項(xiàng);
(Ⅱ)求證:對于任意正整數(shù),必存在,使得;
(Ⅲ)求證:“”是“存在,當(dāng)時,恒有 成立”的充要條件。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)當(dāng)時,求函數(shù)在上的最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017·太原三模)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù),數(shù)列{bn}滿足bn=lgan,b3=18,b6=12,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最大值為( )
A. 126 B. 130 C. 132 D. 134
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)M(﹣1,0),N(1,0),曲線E上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M的距離均是到點(diǎn)N的距離的倍.
(1)求曲線E的方程;
(2)已知m≠0,設(shè)直線:x﹣my﹣1=0交曲線E于A,C兩點(diǎn),直線:mx+y﹣m=0交曲線E于B,D兩點(diǎn),若CD的斜率為﹣1時,求直線CD的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知四棱錐 中,
.
(1)證明:頂點(diǎn)在底面的射影為邊的中點(diǎn);
(2)點(diǎn)在上,且,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2018河南安陽市高三一模】如下圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與直線之間的陰影部分即為,區(qū)域中動點(diǎn)到的距離之積為1.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)動直線穿過區(qū)域,分別交直線于兩點(diǎn),若直線與軌跡有且只有一個公共點(diǎn),求證: 的面積恒為定值.
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