Question

13．已知sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0＜α＜π，則tan（α-$\frac{π}{4}$）=$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由平方關(guān)系化簡已知的式子求出2sinαcosα的值，由三角函數(shù)值的符號和α的范圍進(jìn)一步縮小α的范圍，由正切函數(shù)的性質(zhì)求出tanα的范圍，由條件和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系列出方程，化簡后求出tanα的值，由兩角差的正切公式化簡、求值．

解答 解：由題意知，sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
兩邊平方得，2sinαcosα=$-\frac{7}{9}＜0$，
∵0＜α＜π，且sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$＞0
∴$\frac{π}{2}＜α＜\frac{3π}{4}$，則tanα＜-1，
又$2sinαcosα=\frac{2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}=-\frac{7}{9}$，
則$\frac{2tanα}{ta{n}^{2}α+1}=-\frac{7}{9}$，
解得tanα=$\frac{-9-4\sqrt{2}}{7}$或tanα=$\frac{-9+4\sqrt{2}}{7}$（舍去），
∴tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-tan\frac{π}{4}}{1+tanαtan\frac{π}{4}}$=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$
=$\frac{\frac{-9-4\sqrt{2}}{7}-1}{1+\frac{-9-4\sqrt{2}}{7}}$=$\frac{8+2\sqrt{2}}{1+2\sqrt{2}}$=$2\sqrt{2}$，
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查兩角差的正切函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)值的符號，以及角的范圍縮小的方法，考查化簡、變形、計算能力．