Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+3|-|2x-a|，a∈R．
（1）若不等式f（x）≤-5的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，0）對(duì)稱，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）若不等式f（x）≤-5的解集非空，-|3+a|≤-5，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，0）對(duì)稱，f（x-$\frac{1}{2}$）+f（-x-$\frac{1}{2}）$=0，即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）||2x+3|-|2x-a||≤|2x+3-2x+a|=|3+a|，
∵不等式f（x）≤-5的解集非空，
∴-|3+a|≤-5，∴a≤-8或a≥2；
（2）∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，0）對(duì)稱，
∴f（x-$\frac{1}{2}$）+f（-x-$\frac{1}{2}）$=0，
∴|2x+2|-|2x-1-a|+|-2x+2|-|-2x-1-a|=0，
由于對(duì)任意x為實(shí)數(shù)均成立，
∴a=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查恒成立問題，考查函數(shù)對(duì)稱性的運(yùn)用，屬于中檔題．