Question

10．若函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{3（1-{2^x}）}}{{{2^x}+1}}，（-1≤x≤1）}\\{-\frac{1}{4}（{x^3}+3x），（x＜-1或x＞1）}\end{array}}\right.$對任意的m∈[-3，2]，總有f（mx-1）+f（x）＞0恒成立，則x的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{3}}）$
• B． （-1，2）
• C． $（{-\frac{4}{3}，-\frac{1}{2}}）$
• D． （-2，3）

Answer 1

分析 分別討論當-1≤x≤1時，當x＞1或x＜-1，f（x）的奇偶性和單調(diào)性，可得f（x）為R上的奇函數(shù)，且為減函數(shù)．由題意可得（m+1）x-1＜0，設(shè)g（m）=（m+1）x-1，m∈[-3，2]，由g（-3）＜0，g（2）＜0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：當-1≤x≤1時，f（x）=$\frac{3（1-{2}^{x}）}{1+{2}^{x}}$=-$\frac{3（{2}^{x}+1-2）}{{2}^{x}+1}$
=-3+$\frac{6}{{2}^{x}+1}$，由y=2^x在[-1，1]遞增，可得f（x）在[-1，1]遞減；
且f（-x）=$\frac{3（1-{2}^{-x}）}{1+{2}^{-x}}$=$\frac{3（{2}^{x}-1）}{{2}^{x}+1}$=-f（x），
即f（x）為奇函數(shù)；
當x＞1或x＜-1，f（x）=-$\frac{1}{4}$（x³+3x），f（-x）=$\frac{1}{4}$（x³+3x）=-f（x），
f（x）為奇函數(shù)；且f′（x）=-$\frac{1}{4}$（3x²+3）＜0，即有f（x）為遞減函數(shù)．
f（-1）=1，f（1）=-1，則f（x）為R上的奇函數(shù)，且為減函數(shù)．
則任意的m∈[-3，2]，總有f（mx-1）+f（x）＞0恒成立，
即有f（mx-1）＞-f（x）=f（-x），
可得mx-1＜-x，即為（m+1）x-1＜0，
設(shè)g（m）=（m+1）x-1，m∈[-3，2]，
則g（-3）＜0，g（2）＜0，即-2x-1＜0，3x-1＜0，
解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用，考查構(gòu)造函數(shù)法，以及定義法的運用，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．