Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，∠BAC=90°，AB=AA1=2，AC=1，點(diǎn)M和N分別為A1B1和BC的中點(diǎn)．

（1）求證：AC⊥BM；
（2）求證：MN∥平面ACC1A1；
（3）求二面角M﹣BN﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意知AC、AB、AA1兩兩垂直，

如圖，以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），M（0，1，2），

∵ =（1，0，0）， =（0，﹣1，2），

∴ =0，∴ ⊥ ，

∴AC⊥BM．

（2）證明：∵M(jìn)（0，1，2），N（ ），A（0，0，0），B（0，2，0），

∴ =（ ）， =（0，2，0），

∴ =0，

∴MN⊥AB，

∵ 是平面ACC1A1的一個(gè)法向量，且MN平面ACC1A1，

∴MN∥平面ACC1A1

（3）解：由（2）得 =（ ）， =（0，1，﹣2），

設(shè)平面MBN的法向量為 =（x，y，z），

則 ，取z=1，得 =（4，2，1），

平面ABN的法向量 =（0，0，2），

cos＜ ＞= = = ，

∵二面角M﹣BN﹣A的平面角是銳角，

∴二面角M﹣BN﹣A的余弦值為

【解析】（1）以為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC⊥BM．（2）推導(dǎo)出 =0，由 是平面ACC1A1的一個(gè)法向量，且MN平面ACC1A1 ， 能證明MN∥平面ACC1A1 ． （3）求出平面MBN的法向量和平面ABN的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣BN﹣A的余弦值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．