Question

16．如圖，雙曲線經(jīng)過正六邊形的四個頂點，且正六邊形的另兩個頂點A、B分別雙曲線的兩個焦點，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 設(shè)正六邊形的邊長為2，畫出圖象做出輔助線，由正六邊形的性質(zhì)、雙曲線的定義求出a和c，即可求出該雙曲線的離心率的值．

解答 解：設(shè)正六邊形的邊長為2，如圖所示：
連接AB、AP、PB，
由正六邊形的性質(zhì)可得，AB=4，AP⊥BP，∠PAB=60°，
在RT△ABP中，PA=2，PB=2$\sqrt{3}$，
由雙曲線的定義知，2c=AB=4，則C=2，
2a=PA+PB=2（1+$\sqrt{3}$），則a=1+$\sqrt{3}$，
所以該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}+1$，
故答案為：$\sqrt{3}+1$．

點評 本題考查了雙曲線的定義以及性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．