Question

15．已知直角△ABC的頂點A的坐標為（-2，0），直角頂點B的坐標為（1，$\sqrt{3}$），頂點C在x軸上．
（1）求邊BC所在直線的方程；
（2）求直線△ABC的斜邊中線所在的直線的方程．

Answer 1

分析 （1）利用相互垂直的直線斜率之間的關系、點斜式即可得出．
（2）利用直線與坐標軸相交可得C坐標，利用中點坐標公式可得斜邊AC的中點，設直線OB：y=kx，代入B可得k．

解答 解：（1）依題意，直角△ABC的直角頂點為$B（1，\sqrt{3}）$
所以AB⊥BC，故k_AB•k_BC=-1，
又因為A（-3，0），∴k_AB=$\frac{\sqrt{3}-0}{1+2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴k_BC=-$\frac{1}{{k}_{AB}}$=-$\sqrt{3}$．
∴邊BC所在的直線方程為：y-$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$（x-1），即$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0．
（2）因為直線BC的方程為$\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$，點C在x軸上，
由y=0，得x=2，即C（2，0），
所以，斜邊AC的中點為（0，0），
故直角△ABC的斜邊中線為OB（O為坐標原點）．
設直線OB：y=kx，代入$B（1，\sqrt{3}）$，得$k=\sqrt{3}$，
所以直角△ABC的斜邊中線OB的方程為$y=\sqrt{3}x$．

點評 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、中點坐標公式、直線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．