Question

已知向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，且|

a

+k

b

|=

3

|

a

-

b

|（k＜0），
（1）試用k表示

a

•

b

，并求出

a

•

b

的最大值及此時

a

與

b

的夾角θ的值；
（2）當

a

•

b

取最大值時，求實數(shù)λ，使|λ

a

-λ

b

|的值最�。�

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由(

a

+k

b

)2=3(

a

-

b

)2即可求出

a

•

b

=

5-k2

2k+6

，所以求關(guān)于k的函數(shù)

5-k2

2k+6

的最大值即可，求出

a

•

b

的最大值為1，即

a

=

b

；
（2）

a

•

b

取最大值時，

a

=

b

，所以對于任意的λ|λ

a

-λ

b

|取最小值0．

解答： 解：（1）由已知條件可得：(

a

+k

b

)2=3(

a

-

b

)2；
∵|

a

|=|

b

|=1，∴得到，

a

•

b

=

5-k2

2k+6

，令y=

a

•

b

，則：
y=

5-k2

2k+6

，將該式整理成：k²+2yk+6y-5=0，可以將該式看成關(guān)于k的方程，方程有解；
△=4y²-4（6y-5）≥0，解得y≤1，或y≥5；
∵y=

a

•

b

=cosθ≤1，∴取y≤1，∴y的最大值為1，此時cosθ=1，∴θ=0；
即

a

•

b

的最大值為1，此時

a

與

b

的夾角θ的值為0；
（2）由（1）知當

a

•

b

取最大值時，

a

=

b

，所以|λ

a

-λ

b

|=0，即對于任意的λ都使|λ

a

-λ

b

|最�。�

點評：考查向量數(shù)量積的運算公式，一元二次方程的解和判別式△的關(guān)系．