Question

11．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（$\frac{1}{x}$），當x∈[1，4]時，f（x）=lnx，若在區(qū)間x∈[$\frac{1}{4}$，4]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有三個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 作出f（x）與y=ax的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象交點個數(shù)判斷a的范圍．

解答 解：當x∈[$\frac{1}{4}$，1]時，f（x）=f（$\frac{1}{x}$）=ln$\frac{1}{x}$，
作出f（x）在[$\frac{1}{4}$，4]上的函數(shù)圖象如圖所示：

∵g（x）=f（x）-ax在[$\frac{1}{4}$，4]上又3個交點，
∴f（x）與y=ax有3個交點，
若直線y=ax經(jīng)過點（4，ln4），則a=$\frac{ln4}{4}$=$\frac{ln2}{2}$，
若直線y=ax與y=lnx相切，設(shè)切點為（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{y=lnx}\\{\frac{1}{x}=a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=e}\\{y=1}\\{a=\frac{1}{e}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{ln2}{2}$≤a＜$\frac{1}{e}$．
故答案為：$[\frac{ln2}{2}，\frac{1}{e}）$．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．