Question

5．已知橢圓C的兩個焦點坐標分別是（-2，0），（2，0），并且經(jīng)過$P（{2，\frac{{\sqrt{6}}}{3}}）$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l，直線l與橢圓C相交于A、B兩點，當△OAB的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)出橢圓方程，結(jié)合定義求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出過F（2，0）的直線的方程為：x=my+2，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用弦長公式求得|AB|，再由點到直線的距離公式求得O到AB所在直線的距離，代入三角形面積公式，利用換元法求得△OAB的面積最大時的m值，則直線l的方程可求．

解答 解：（1）∵橢圓C的焦點在x軸上，∴設(shè)它的標準方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
由橢圓的定義知：$2a=\sqrt{{{（{2+2}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{3}}）}^2}}+\sqrt{{{（{2-2}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{3}}）}^2}}=2\sqrt{6}$，
∴$a=\sqrt{6}$，
又∵c=2，∴b²=a²-c²=6-4=2，
因此，所求橢圓C的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$；
（2）設(shè)過F（2，0）的直線的方程為：x=my+2，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1}\end{array}}\right.$，消x得：（m²+3）y²+4my-2=0，
∴${y_1}{y_2}=\frac{-2}{{{m^2}+3}}，{y_1}+{y_2}=\frac{-4m}{{{m^2}+3}}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{（{1+{m^2}}）[{{{（{\frac{-4m}{{{m^2}+3}}}）}^2}-4•\frac{-2}{{{m^2}+3}}}]}=\frac{{2\sqrt{6}（{{m^2}+1}）}}{{{m^2}+3}}$，
∵O到直線l的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{{m^2}+1}}}$，
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}•\frac{{2\sqrt{6}（{{m^2}+1}）}}{{{m^2}+3}}•\frac{2}{{\sqrt{{m^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{6}\sqrt{{m^2}+1}}}{{{m^2}+3}}$，
令$t=\sqrt{{m^2}+1}$，則m²+3=t²+2，
∴${S_{△OAB}}=\frac{{2\sqrt{6}t}}{{{t^2}+2}}=\frac{{2\sqrt{6}}}{{t+\frac{2}{t}}}≤\sqrt{3}$，當且僅當$t=\frac{2}{t}$，即t²=m²+1=2，
即m=±1時，取“=”，
∴△OAB的面積最大時，直線l的方程為：x+y-2=0或x-y-2=0．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應用，訓練了利用換元法求函數(shù)的最值，是中檔題．