Question

14．已知函數f（x）=|x+1-2a|+|x-a²|，g（x）=x²-2x-4+$\frac{4}{（x-1）^{2}}$
（Ⅰ）若f（2a²-1）＞4|a-1|，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數x，y，使f（x）+g（y）≤0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（2a²-1）＞4|a-1|，則|2a²-2a|+|a²-1|＞4|a-1|，即2|a|+|a+1|＞4，分類討論，即可求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實數x，y，使f（x）+g（y）≤0，則f（x）≤-g（y），即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）若f（2a²-1）＞4|a-1|，則|2a²-2a|+|a²-1|＞4|a-1|，
∴2|a|+|a+1|＞4，
a＜-1，則-2a-a-1＞4，∴a＜-$\frac{5}{3}$，∴a＜-$\frac{5}{3}$；
-1≤a≤0，則-2a+a+1＞4，∴a＜-3，不成立；
a＞0，則2a+a+1＞4，∴a＞1，
綜上所述，a＜-$\frac{5}{3}$或a＞1；
（Ⅱ）f（x）=|x+1-2a|+|x-a²|≥|1-2a+a²|，g（x）=x²-2x-4+$\frac{4}{（x-1）^{2}}$=（x-1）²+$\frac{4}{（x-1）^{2}}$-5≥-1
若存在實數x，y，使f（x）+g（y）≤0，則|1-2a+a²|≤1，∴0≤a≤2．

點評 本題主要考查絕對值的含義、不等式的解法，函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力以及推理論證能力，考查函數與方程思想以及分類與整合思想．