Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

2x

+2，x∈[1，+∞）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）解不等式：f（2x-

1

2

）＜f（x+1007）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)x₂＞x₁≥1，根據(jù)f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•（1-

1

2x1•x2

）＜0，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）由題意可得，f（2x-

1

2

）＜f（x+1007）等價于

2x- 1 2 ≥1 2x- 1 2 ＜x+1007

，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)x₂＞x₁≥1，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

2x1

-x₂-

1

2x2

=（x₁-x₂）+

x2-x1

2x1•x2

=（x₁-x₂）•（1-

1

2x1•x2

）．
由題設(shè)可得x₁-x₂＜0，1-

1

2x1•x2

＞0，
∴（x₁-x₂）•（1-

1

2x1•x2

）＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（2x-

1

2

）＜f（x+1007），
等價于

2x- 1 2 ≥1 2x- 1 2 ＜x+1007

．
解得

3

4

≤x＜

2015

2

，
故原不等式解集為[

3

4

，

2015

2

）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于中檔題．