Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²e^-x，則f（x）的極大值為$\frac{4}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 利用導數(shù)的運算法則即可得出f′（x），利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系及函數(shù)的極值點的定義，即可求出函數(shù)的極值．

解答 解：∵f（x）=x²e^-x，
∴f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=e^-x（2x-x²），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；
令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
故函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）與（2，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)．
∴x=2極大值點，f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故f（x）的極大值為$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故答案為：$\frac{4}{{e}^{2}}$．

點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值與利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值問題，考查了推理能力和計算能力．