Question

已知單位向量

i

，

j

的夾角為θ（0＜θ＜π），若

a

=x

i

+y

j

，如圖，則（x，y）叫做向量

a

的[θ]坐標(biāo)，記作

a

=（x，y）_θ，有以下命題：
①已知

a

=(2，-1)60°，則|

a

|=

5

；
②若

a

=（x₁，y₁）_θ，

b

=（x₂，y₂）_θ，則

a

+

b

=（x₁+x₂，y₁+y₂）_θ；
③若

a

=（x₁，y₁）_θ，

b

=（x₂，y₂）_θ，則

a

•

b

=x₁x₂+y₁y₂；
④若

OB

（x₂，y₂）_θ，

OC

=（x₃，y₃）_θ，

OA

=（x₁，y₁）_θ，且A，B，C三點共線，則x₃=λx₁+（1-λ）x₂，（λ∈R）．上述命題中正確的有

 

．（將你認為正確的都寫上）

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：①由

a

=(2，1)60°，可得

i

•

j

=cos60°=

1

2

，|

a

|=

4 i 2+ j 2+4 i • j

=

4+1+4× 1 2

=

7

；
②由定義可知正確；
③

a

•

b

=(x1

i

+y1

j

)•(x2

i

+y2

j

)=x₁x₂+y₁y₂+(x1y2+x2y1)

i

•

j

≠x₁x₂+y₁y₂；
④利用向量共線定理可得：存在實數(shù)λ使得

OC

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，即可得出．

解答： 解：①已知

a

=(2，1)60°，則

i

•

j

=cos60°=

1

2

，∴|

a

|=

4 i 2+ j 2+4 i • j

=

4+1+4× 1 2

=

7

≠

5

；
②若

a

=（x₁，y₁）_θ，

b

=（x₂，y₂）_θ，則

a

+

b

=（x₁+x₂，y₁+y₂）_θ，由定義可知正確；
③若

a

=（x₁，y₁）_θ，

b

=（x₂，y₂）_θ，則

a

•

b

=(x1

i

+y1

j

)•(x2

i

+y2

j

)=x₁x₂+y₁y₂+(x1y2+x2y1)

i

•

j

≠x₁x₂+y₁y₂；
④∵A，B，C三點共線，∴存在實數(shù)λ使得

OC

=λ

OA

+(1-λ)

OB

，可得則x₃=λx₁+（1-λ）x₂，（λ∈R）．
上述命題中正確的命題為：②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查了新定義、向量的數(shù)量積運算、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．