Question

4．已知拋物線E：y²=4x的焦點為F，準線為l，過準線l與x軸的交點P且斜率為k的直線m交拋物線于不同的兩點A，B．
（1）若|AF|+|BF|=8，求線段AB的中點Q到準線的距離；
（2）E上是否存在一點M，滿足$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PM}$？若存在，求出直線m的斜率；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的方程求出準線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，列出方程求出A，B的中點橫坐標，求出線段AB的中點到該拋物線準線的距離．
（2）設直線m的方程為y=k（x+1），$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.⇒$k²x²+（2k²-4）x+k²=0，利用韋達定理，結合M在拋物線上，即可得出結論．

解答 解：（1）由已知拋物線E的方程為y²=4x，
可得：F（1，0），準線l：x=-1，P（-1，0）．
設A（x₁，y₁）   B（x₂，y₂）
∴|AF|+|BF|=x₁+1+x₂+1=8，
解得x₁+x₂=6，
∴線段AB的中點橫坐標為3，
∴線段AB的中點到該拋物線準線的距離為3+1=4．
（2）設M（x，y），$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=（x₁+1，y₁）+（x₂+1，y₂）
=（x₁+x₂+2，y₁+y₂）=（x+1，y），
$故\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}+2=x+1，\;\;\\{y_1}+{y_2}=y\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=x-1，\;\;\\{y_1}+{y_2}=y.\end{array}\right.$
設直線m的方程為y=k（x+1），$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.⇒$k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}k≠0，\;\;\\△={（2{k^2}-4）^2}-4{k^4}＞0，\;\;\\{x_1}+{x_2}=\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}，\;\;\end{array}\right.$∴$\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}=x-1$，∴$x=\frac{{4-{k^2}}}{k^2}$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2k=k\;•\;\frac{{4-2{k^2}}}{k^2}+2k=\frac{4}{k}$．
∴$y=\frac{4}{k}$．∵M點在拋物線上，
∴${（{\frac{4}{k}}）^2}=4\;•\;\frac{{4-{k^2}}}{k^2}$，$\frac{16}{k^2}=\frac{16}{k^2}-4$，此方程無解．
∴不存在這樣的點M．

點評 本題考查解決拋物線上的點到焦點的距離問題，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．