對(duì)于函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱(chēng)x為f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”,若f[f(x)]=x,則稱(chēng)x為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”,函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)]=x}.
(I)設(shè)f(x)=3x+4,求集合A和B;
(Ⅱ)若f(x)=
1
1-ax
,∅?A⊆B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若f(x)=ax2,求證:A=B.
考點(diǎn):函數(shù)恒成立問(wèn)題,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用
專(zhuān)題:綜合題,壓軸題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(I)直接由f(x)=x,f[f(x)]=x求解方程組得集合A,B;
(Ⅱ)分a=0和a≠0討論,當(dāng)a≠0時(shí),由題意有:f(x)=x,即
1
1-ax
=x,得到ax2-x+1=0,然后驗(yàn)證
1
a
不是方程ax2-x+1=0的根求得集合A.由f[f(x)]=x,即
1
1-
a
1-ax
=x
,ax2-x+1=0.驗(yàn)證
1
a
1
a
-1
都不是方程ax2-x+1=0的根求得B={x|ax2-x+1=0}.最后根據(jù)∅?A⊆B得到方程ax2-x+1=0有解.列關(guān)于a的不等式組得答案;
(Ⅲ)分a=0和a≠0討論,a≠0時(shí)由f[f(x)]=x得a3x4-x=0,即x(ax-1)(a2x2+ax+1)=0.
考慮方程a2x2+ax+1=0,由△=a2-4a2=-3a2<0說(shuō)明該方程無(wú)解,從而求出B={0,
1
a
}.結(jié)論成立.
解答: (Ⅰ)解:由f(x)=x,得3x+4=x,解得x=-2;
由f[f(x)]=x,得3(3x+4)+4=x,解得x=-2.
∴集合A={-2},B={-2};
(Ⅱ)解:①若a=0,A=B={1},符合題意;
②若a≠0,由題意有:f(x)=x,即
1
1-ax
=x,ax2-x+1=0.
注意:1-ax≠0,
∴x
1
a
,驗(yàn)證得:
1
a
不是方程ax2-x+1=0的根.
∴A={x|ax2-x+1=0}.
f[f(x)]=x,即
1
1-
a
1-ax
=x
,ax2-x+1=0.
注意:
1-ax≠0
1-ax-a≠0
,得x≠
1
a
且x
1
a
-1

驗(yàn)證得:
1
a
,
1
a
-1
都不是方程ax2-x+1=0的根.
∴B={x|ax2-x+1=0}.
∴A=B.
∵∅?A⊆B,
∴A≠∅.
∴方程ax2-x+1=0有解.
a≠0
△=1-4a≥0
,解得a
1
4
且a≠0.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤
1
4

(Ⅲ)證明:若a=0,A=B={0},結(jié)論成立;
若a≠0,則A={0,
1
a
}.
∵f[f(x)]=x,
∴a3x4-x=0,即x(ax-1)(a2x2+ax+1)=0.
考慮方程a2x2+ax+1=0,
∵△=a2-4a2=-3a2<0,方程無(wú)解,
∴B={0,
1
a
}.
A=B,結(jié)論成立.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查了集合的包含關(guān)系的判斷與應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯思維能力,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,是壓軸題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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x2,x≥0
-x,x<0
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1
x
,x>0
-x,x≤0

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某地一天的溫度(單位:°C)隨時(shí)間t(單位:小時(shí))的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系:f(t)=24-4sinωt-4
3
cosωt,t∈[0,24]
,且早上8時(shí)的溫度為24°C,ω∈(0,
π
8
)

(1)求函數(shù)的解析式,并判斷這一天的最高溫度是多少?出現(xiàn)在何時(shí)?
(2)當(dāng)?shù)赜幸煌ㄏ鼱I(yíng)業(yè)的超市,我節(jié)省開(kāi)支,跪在在環(huán)境溫度超過(guò)28°C時(shí),開(kāi)啟中央空調(diào)降溫,否則關(guān)閉中央空調(diào),問(wèn)中央空調(diào)應(yīng)在何時(shí)開(kāi)啟?何時(shí)關(guān)閉?

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A、(x-3)2+y2=4
B、(x-3)2+(y-1)2=4
C、(x-1)2+(y-1)2=4
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