Question

18．已知$f（x）=alnx+\frac{1}{3}{x^3}$，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x₁、x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞3$恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． （2，+∞）
• C． （0，2）
• D． （0，2]

Answer 1

分析 依題意知，f′（x）=$\frac{a}{x}$+x²≥3（x＞0）恒成立，判斷a 的符號(hào)，利用基本不等式求解最小值，然后推出a的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=alnx+$\frac{1}{3}$x³（a＞0），對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x₁、x₂都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞3$恒成立，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+x²≥3（x＞0）恒成立，可知a＞0．
不等式化為：$\frac{a}{2x}+\frac{a}{2x}+{x}^{2}$≥3，
可得$3\root{3}{\frac{a}{2x}•\frac{a}{2x}•{x}^{2}}$≥3，當(dāng)且僅當(dāng)a=2x³，時(shí)取等號(hào)．
即a²≥4，解得a≥2．
即a的取值范圍是[2，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想．