Question

7．設(shè)G為等邊△ABC的重心，過G作直線l分別交AB，AC（不與端點重合）于P，Q，若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=μ\overrightarrow{AC}$，若△PAG與△QAG的面積之比為$\frac{2}{3}$，則μ=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)面積比得出λ，μ的關(guān)系，用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AG}$，從而可以$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AQ}$表示出$\overrightarrow{AG}$，利用共線原理列方程得出μ的值．

解答 解：∵G是等邊△ABC的重心，
∴∠PAG=∠QAG=30°，
∵$\frac{{S}_{△PAG}}{{S}_{△QAG}}$=$\frac{\frac{1}{2}PA•GA•sin∠PAG}{\frac{1}{2}QA•GA•sin∠QAG}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{PA}{QA}=\frac{2}{3}$．
∵AB=AC，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AQ}=μ\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{λ}{μ}$=$\frac{2}{3}$，即λ=$\frac{2}{3}μ$．
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{AP}$=$\frac{3}{2μ}$$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{μ}$$\overrightarrow{AQ}$，
延長AG交BC于D，則D為BC的中點，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}+$$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2μ}$$\overrightarrow{AP}$+$\frac{1}{3μ}$$\overrightarrow{AQ}$，
∵P，G，Q三點共線，
∴$\frac{1}{2μ}+\frac{1}{3μ}$=1，解得μ=$\frac{5}{6}$．
故選D．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，共線定理，屬于中檔題．