Processing math: 100%
8.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為63,且經過點M(-3,-1).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:x-y-2=0與橢圓C交于A,B兩點,點P為橢圓C上一動點,當△PAB的面積最大時,求點P的坐標及△PAB的最大面積.

分析 (Ⅰ)利用橢圓的離心率為63,且經過點M(-3,-1),列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)將直線x-y-2=0代入x212+y24=1中,得,x2-3x=0.求出點A(0,-2),B(3,1),從而|AB|=32,在橢圓C上求一點P,使△PAB的面積最大,則點P到直線l的距離最大.設過點P且與直線l平行的直線方程為y=x+b.將y=x+b代入x212+y24=1,得4x2+6bx+3(b2-4)=0,由根的判別式求出點P(-3,1)時,△PAB的面積最大,由此能求出△PAB的最大面積.

解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為63,且經過點M(-3,-1),
{e=ca=639a2+12=1a2=2+c2,解得a2=12,b2=4,
∴橢圓C的方程為x212+y24=1.…(4分)
(Ⅱ)將直線x-y-2=0代入x212+y24=1中,消去y得,x2-3x=0.
解得x=0或x=3.…(5分)
∴點A(0,-2),B(3,1),∴|AB|=302+1+22=32. …(6分)
在橢圓C上求一點P,使△PAB的面積最大,則點P到直線l的距離最大.
設過點P且與直線l平行的直線方程為y=x+b.…(7分)
將y=x+b代入x212+y24=1,整理得4x2+6bx+3(b2-4)=0.…(8分)
令△=(6b)2-4×4×3(b2-4)=0,解得b=±4. …(9分)
將b=±4代入方程4x2+6bx+3(b2-4)=0,解得x=±3.
由題意知當點P的坐標為(-3,1)時,△PAB的面積最大. …(10分)
且點P(-3,1)到直線l的距離為d=|312|12+12=32.  …(11分)
△PAB的最大面積為S=12×|AB|×d=9. …(12分)

點評 本題考查橢圓方程的求法,考查三角形最大面積的求法,考查橢圓、直線方程、兩點間距離公式、點到直線距離公式等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

4.若函數(shù)f(x)={4a2x+ax1logaxx1,對任意x1≠x2都有fx1fx2x1x2<0,則實數(shù)a的取值范圍是[25,12).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

19.△ABC中,頂點A的坐標為(1,2),高BE,CF所在直線的方程分別為2x-3y+1=0,x+y=0,求這個三角形三條邊所在直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

16.已知橢圓y2a2+x2b2=1ab0的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,直線x+y+1=0與以橢圓C的上焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設P為橢圓C上一點,若過點M(0,2)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點S和T,滿足OS+OT=tOP(O為坐標原點),求實數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

3.設函數(shù)f(x)={x2+bx+cx02x0,若f(-4)=2,f(-2)=-2,則關于x的方程f(x)=x的解的個數(shù)為( �。�
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

13.已知定義在R上的函數(shù)fx={x2+2x[012x2x[10且f(x+2)=f(x).若方程f(x)-kx-2=0有三個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是(-1,-13)∪(13,1).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

20.若關于x的方程xlnx-kx+1=0在區(qū)間[1e,e]上有兩個不等實根,則實數(shù)k的取值范圍是(1,1+1e].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

17.如圖,給出的3個三角形圖案中圓的個數(shù)依次構成一個數(shù)列的前3項,則這個數(shù)列的一個通項公式是( �。�
A.2n+1B.3nC.n2+2n2D.n2+3n+22

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

18.設等差數(shù)列{an}的公差d>0,且a1>0,記Tn=1a1a2+1a2a3+…+1anan+1
(1)用a1、d分別表示T1、T2、T3,并猜想Tn
(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案