分析 (Ⅰ)利用橢圓的離心率為√63,且經過點M(-3,-1),列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)將直線x-y-2=0代入x212+y24=1中,得,x2-3x=0.求出點A(0,-2),B(3,1),從而|AB|=3√2,在橢圓C上求一點P,使△PAB的面積最大,則點P到直線l的距離最大.設過點P且與直線l平行的直線方程為y=x+b.將y=x+b代入x212+y24=1,得4x2+6bx+3(b2-4)=0,由根的判別式求出點P(-3,1)時,△PAB的面積最大,由此能求出△PAB的最大面積.
解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為√63,且經過點M(-3,-1),
∴{e=ca=√639a2+12=1a2=2+c2,解得a2=12,b2=4,
∴橢圓C的方程為x212+y24=1.…(4分)
(Ⅱ)將直線x-y-2=0代入x212+y24=1中,消去y得,x2-3x=0.
解得x=0或x=3.…(5分)
∴點A(0,-2),B(3,1),∴|AB|=√(3−0)2+(1+2)2=3√2. …(6分)
在橢圓C上求一點P,使△PAB的面積最大,則點P到直線l的距離最大.
設過點P且與直線l平行的直線方程為y=x+b.…(7分)
將y=x+b代入x212+y24=1,整理得4x2+6bx+3(b2-4)=0.…(8分)
令△=(6b)2-4×4×3(b2-4)=0,解得b=±4. …(9分)
將b=±4代入方程4x2+6bx+3(b2-4)=0,解得x=±3.
由題意知當點P的坐標為(-3,1)時,△PAB的面積最大. …(10分)
且點P(-3,1)到直線l的距離為d=|−3−1−2|√12+12=3√2. …(11分)
△PAB的最大面積為S=12×|AB|×d=9. …(12分)
點評 本題考查橢圓方程的求法,考查三角形最大面積的求法,考查橢圓、直線方程、兩點間距離公式、點到直線距離公式等基礎知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | 2n+1 | B. | 3n | C. | n2+2n2 | D. | n2+3n+22 |
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