Question

9．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5，$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=2，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$的值是（　�。�

• A． 8
• B． 12
• C． 22
• D． 24

Answer 1

分析 根據平面向量的線性表示與數(shù)量積運算的定義，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$，
代入$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=2，即可求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$的值．

解答 解：如圖所示，
平行四邊形ABCD中，AB=8，AD=5，$\overrightarrow{CP}$=3$\overrightarrow{PD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$）
=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{16}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$
=5²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$-$\frac{3}{16}$×8²=2，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=22．
故選：C．

點評 本題考查了向量在幾何中的應用以及平面向量數(shù)量積的運算問題，是基礎題．