Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF=1，則下列結論中正確的有

 

．（填寫你認為正確的序號）
①AC⊥面BEF；
②AF與BE相交；
③若P為AA₁上的一動點，則三棱錐P-BEF的體積為定值；
④在空間與直線DD₁，AC，B₁C₁都相交的直線只有1條．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關系

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：連接BD，交AC于O，由線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，即可判斷①；
由兩異面直線的判定方法，即可得到AF與BE為異面直線，進而判斷②；
運用棱錐的體積公式，由于EF=1，矩形BDD₁B₁內(nèi)B到EF的距離為1，則三角形BEF的面積為

1

2

，再由P在棱AA₁上，P到平面BEF的距離，即為A到平面BDD₁B₁的距離，即可得到體積，從而判斷③；
由于平面BDD₁B₁與直線DD₁，AC，B₁C₁都有交點，則所求直線在平面BDD₁B₁，由于平面BDD₁B₁與直線AC交于O，與直線C₁B₁交于B₁，即可判斷④．

解答： 解：對于①，連接BD，交AC于O，則AC⊥BD，又BB₁⊥平面ABCD，則AC⊥BB₁，
則有AC⊥平面BDD₁B₁，即AC⊥面BEF，故①對；
對于②，由于BE是平面BDD₁B₁內(nèi)一直線，F(xiàn)不在直線BE上，且F在平面BDD₁B₁內(nèi)，
點A不在平面BDD₁B₁內(nèi)，由異面直線的判定可得，AF與BE為異面直線，故②錯；
對于③，三棱錐P-BEF的體積為

1

3

S_△BEF•h，由于EF=1，矩形BDD₁B₁內(nèi)B到EF的距離為1，則三角形BEF的面積為

1

2

，由于P在棱AA₁上，P到平面BEF的距離，即為A到平面BDD₁B₁的距離，由于AC⊥平面BDD₁B₁，則h=AO=

2

2

，則三棱錐P-BEF的體積為

2

12

，故③對；
對于④，由于平面BDD₁B₁與直線DD₁，AC，B₁C₁都有交點，
則所求直線在平面BDD₁B₁，由于平面BDD₁B₁與直線AC交于O，與直線C₁B₁交于B₁，
連接OB₁，延長與D₁D延長交于Q，即為所求直線，故④對．
故答案為：①③④

點評：本題考查空間直線與平面的位置關系，考查線面垂直的判定和性質(zhì)，兩直線的位置關系，考查三棱錐體積的求法，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題和易錯題．