Question

5．設函數(shù)f（x）=$\frac{3}{2}{x^2}-2ax（{a＞0}）$與g（x）=a²lnx+b有公共點，且在公共點處的切線方程相同，則實數(shù)b的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{{2{e^2}}}$
• B． $\frac{1}{2}{e^2}$
• C． $\frac{1}{e}$
• D． $-\frac{3}{{2{e^2}}}$

Answer 1

分析 設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，先利用導數(shù)求出在切點處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用兩直線重合列出等式即可求得b值，然后利用導數(shù)來研究b的最大值，研究此函數(shù)的最值問題，先求出函數(shù)的極值，結合函數(shù)的單調性，最后確定出最大值與最小值即得．

解答 解：設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點P（x₀，y₀）處的切線相同、
f′（x）=3x-2a，g′（x）=$\frac{{a}^{2}}{x}$，
由題意f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
即$\frac{3}{2}$x₀²-2ax₀=a²lnx₀+b，3x₀-2a=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$
由3x₀-2a=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$得x₀=a或x₀=-$\frac{1}{3}$a（舍去），
即有b=$\frac{3}{2}$a²-2a²-a²lna=-$\frac{1}{2}$a²-a²lna．
令h（t）=-$\frac{1}{2}$t²-t²lnt（t＞0），則h′（t）=2t（1+lnt），
于是當2t（1+lnt）＞0，即0＜t＜$\frac{1}{e}$時，h′（t）＞0；
當2t（1+lnt）＜0，即t＞$\frac{1}{e}$時，h′（t）＜0．
故h（t）在（0，$\frac{1}{e}$）為增函數(shù)，在（$\frac{1}{e}$，+∞）為減函數(shù)，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值為h（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{2{e}^{2}}$，
故b的最大值為$\frac{1}{2{e}^{2}}$．
故選A．

點評 本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．